Hoe ontbind je in factoren?

Als je goed bent in ontbinden in factoren zal je comfortabeler zitten in de wiskundelessen. In dit bericht kom je te weten waarom ontbinden in factoren belangrijk is en welke methodes hiervoor bestaan.

Het onderwerp ‘ontbinden in factoren’ is één van de belangrijkste leerstofonderdelen binnen de wiskunde. Dit onderwerp wordt gevreesd en niet plezant gevonden (lees: gehaat :-)) door veel leerlingen. Zelfs vrienden die de schoolbanken allang hebben verlaten vertellen me hierover… Oké, ik overdrijf misschien een beetje.

Het punt dat ik in dit bericht wil meegeven: ontbinden in factoren kent verschillende methoden en een zekere beheersing hiervan is belangrijk. Het is noodzakelijk op school maar ook later. Denk maar aan de ijkingstoetsen, toelatingsexamen, de verwachtingen in het hoger onderwijs waar een zekere wiskundevaardigheid onontbeerlijk is.

Waarom is ontbinden in factoren belangrijk?

Het juiste antwoord:
\longrightarrow het zet een som om in een product waardoor je makkelijker vergelijkingen kan oplossen. Bijvoorbeeld hoe los je x^2+2x+1=0 op? Wel

    \[x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow (x+1)\cdot (x+1)=0,\]

de oplossing is dus x=-1.

Er is ook een praktische antwoord op de bovenstaande titel. Veel wiskundevraagstukken zijn te herleiden tot het zoeken van snijpunten van grafieken van functies. Het onderstaande voorbeeld is een goede oefening uit 4 ASO (4 VWO in Nederland).

De grafieken van een bergparabool en een lijn, samen met de snijpunten A en B.

In de bovenstaande grafiek zoeken we naar de snijpunten van de functies g(x) en f(x). Typisch wordt dit gedaan door de vergelijking g(x)=f(x) op te lossen. Dus

    \[g(x)=f(x) \Leftrightarrow -2x^2+3x+5=\frac{1}{2}x+1 \Leftrightarrow -2x^2+\frac{5}{2}x+4=0\]

De laatste vergelijking los je op m.b.v. de discriminant methode (in Nederland wordt dit de abc-formule genoemd) (zie beneden).

De discriminant methode is niet altijd toepasbaar, vandaar dat het belangrijk is om goed te weten welke methoden er zijn. Dus

Ontbinden in factoren: de vier methoden

Dit overzicht staat in volgorde. Dat wil zeggen wanneer je in een oefening moet ontbinden in factoren en je weet niet hoe te beginnen, probeer dan eerst methode 1, dan methode 2, enzovoort.

1. Gemeenschappelijke factor afzonderen
Gebruik distributiviteit om gemeenschappelijke factoren af te zonderen.
Voorbeelden:
a) 2xy+y = (2x+1) y
b) 4x^2+x^5 =x^2 (4+x^3)
c) 4ab^2-2ab=2ab(2b-1)

2. Merkwaardige producten
De frequente merkwaardige producten zijn:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a+b)^3

3. Discriminant methode (abc-formule)
Wanneer je een uitdrukking van de vorm ax^2+bx+c hebt waarbij a, b en c gegeven reële getallen zijn, dan kan je dit ontbinden in factoren ALS EN SLECHTS ALS de discriminant D=b^2-4ac positief is, d.w.z. D\geq 0. Indien D positief is vind je de ontbinding door de wortels van ax^2+bx+c=0 te bepalen.
Voorbeelden:
a) x^2-5x+6 kan je ontbinden in factoren want D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6=1. De wortels van x^2-5x+6=0 zijn

    \[\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2}=2 \quad \text{en} \quad \frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2}=3.\]


Bijgevolg is

    \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]


b) x^2+1 kan je niet ontbinden in factoren want D=0^2-4\cdot 1 \cdot 1=-4.

4. Via het algoritme van Horner (bij veeltermen)
Beschouw de veelterm A(x)=x^3-2x^2+x-2, hoe ontbind je dit in factoren indien mogelijk? In deze context kan het lonen naar de nulpunten van A(x) te zoeken. In dit geval is 2 een nulpunt, want A(2)=2^3-2\cdot 2^2+2-2=0 (er is een manier om aan die 2 te geraken).

Dan is het zeker zo dat (x-2) een deler is van A(x). De quotiënt vind je door het algoritme van Horner toe te passen waarna je vindt dat

    \[A(x)=(x-2)(x^2+1).\]


Vraag 1: Kan je A(x) nog verder ontbinden in factoren, ja of nee?
Vraag 2: Kan A(x) ontbinden in factoren via een andere methode dan methode 4?
Je mag altijd antwoorden in de reactie beneden!

Conclusie

In dit bericht hebben we kort beschreven waarom ontbinden in factoren belangrijk is. Het is namelijk essentieel bij het oplossen van vergelijkingen.

Ook hebben we de 4 methoden besproken die je gebruikt bij het ontbinden in factoren. De 4 methoden worden aangeleerd tijdens de eerste 4 jaren van het secundair onderwijs. Veel leerlingen zijn deze methoden vergeten in hun laatste jaren van het secundair. Dit is niet nodig en met dit bericht wil ik zorgen dat je deze leerstof opfrist.

Heb je moeilijkheden bij het oplossen van vergelijkingen?
Wat zijn jouw antwoorden op vraag 1 en 2?

Laat een reactie achter

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Social media & sharing icons powered by UltimatelySocial
LinkedIn
Share